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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

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1.8. Decidir si los conjuntos dados a continuación, están acotados superiormente y/o inferiormente. En caso afirmativo, encontrar el supremo y/o el ínfimo y decidir si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.
g) $\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}-3 x+2 \lt 0\right\}$

Respuesta

Como ya te dije en otro problema, al involucrar una cuadrática este ejercicio es mucho más fácil de pensarlo una vez que ya viste funciones cuadráticas. Te recomiendo que vuelvas acá a pensarlo una vez que ya hayas visto funciones cuadráticas (que falta re poquito igual jaja). Yo lo voy a resolver asumiendo que vos ya viste funciones cuadráticas =)

Fijate que nuestro conjunto está formado por todos los $x$ tales que si los metemos en esa cuadrática nos arroja un resultado negativo... es decir, es el conjunto de negatividad de nuestra función! Las raices de esta parábola son $x=1$ y $x=2$, y además es una parábola carita feliz (porque $a$ es mayor que cero). Entonces va a ser negativa en el intervalo $(1,2)$. Impecable, ese es nuestro conjunto entonces! Analicémoslo igual que los anteriores...

Cota inferior: $(-\infty, 1]$
El ínfimo es 1, y 1 no es un elemento del conjunto, por lo tanto no tiene mínimo.
Cota superior: $[2, +\infty)$
El supremo es 2, pero 2 no es un elemento del conjunto, así que no hay máximo. 
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Avatar Agustín 16 de agosto 21:06
Buenas profe! Disculpe las molestias pero quería preguntar de este ejercicio sobre como se puede resolver sin tener en cuenta que es una función cuadratica. Es posible o se espera que lo hagamos así en general y no vale la pena pensarlo de dicha manera? Mil gracias de antemano.
Avatar Flor Profesor 17 de agosto 09:40
@Agustín Hola Agus! Honestamente no sé cómo espera UBA XXI que lo resuelvan jajajaja pero en general vas a ver que en materias como Análisis o Álgebra, es común que haya más de una manera de pensar y hacer un mismo ejercicio (y que todas estén bien)... Yo acá lo resolví de la forma que para mi es más fácil de pensarlo, pero requiere haber visto lo que yo acá mencioné en la clase de Función cuadrática (que está dentro de esta misma práctica) 

Otra manera que se me ocurre para resolverlo sería factorizando la expresión $x^2 - 3x + 2$ (eso igual también yo lo expliqué acá en la clase de función cuadrática jaja, no sé si en UBA XXI habrán incluido esa explicación antes) buscando las raíces y te quedaría:

$x^2-3x+2 = (x-1) \cdot (x-2)$

Y ahora si planteamos la desigualdad:

$(x-1) \cdot (x-2) < 0$

Y acá abrimos en casos, pensando en que para que un producto nos esté dando $< 0$ (es decir, algo negativo), hay dos posibilidades (usando regla de signos)

-> $(x-1)$ es < 0 y $x-2$ es > 0

o bien, también podría ser que:

-> $(x-1)$ es > 0 y $x-2$ es < 0

Te lo menciono porque este es otro camino, que puede ser que también lo hayas visto en las explicaciones de UBA XXI, y llegas al mismo resultado. 
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